Concours Medecine 2020 Mathématiques

Question 1 :

Si z est le nombre complexe de module $\sqrt{2}$ et d'argument $\frac{\pi}{3}$, alors $z^8$ est égal à :

A) $8 + i8\sqrt{3}$

B) $-8 + i8\sqrt{3}$

C) $-8 - i8\sqrt{3}$

D) $8 - i8\sqrt{3}$

E) $4 + i4\sqrt{3}$

Question 2 :

Si θ est un nombre réel, alors $cos^3\theta$ est égal à :

A) $\frac{1}{8}(cos 3\theta + 3cos \theta)$

B) $\frac{1}{4}(cos 3\theta + 3cos \theta)$

C) $\frac{1}{4}(sin 3\theta + 3sin \theta)$

D) $\frac{1}{8}(3cos \theta - cos 3\theta)$

E) $\frac{1}{8}(sin 3\theta + 3sin \theta)$

Question 3 :

Si $x \in ]0,1[$, alors $lim_{n \to +\infty} (1-x)^n(1+x)^n$ est égale à :

A) $+\infty$

B) $-\infty$

C) $0$

D) $-1$

E) $1$

Question 4 :

Le domaine de définition de la fonction $f$ définie par $f(x) = \frac{1}{x-1}ln\left(1+\frac{1}{x}\right)$ est :

A) $]-\infty, -1[U]0, +\infty[$

B) $]-1,1[U]1, +\infty[$

C) $]-\infty, -1[U]1, +\infty[$

D) $]-\infty, -1[U]0,1[U]1, +\infty[$

E) $]-1,1[U]1, +\infty[$

Question 5 :

Si $f(x) = (x^2 - x)e^{\frac{1}{x}}$ alors $f'(x)$ est égale à :

A) $(2x-1)e^{\frac{1}{x}}$

B) $(1-\frac{1}{x})e^{\frac{1}{x}}$

C) $(2x-1+\frac{1}{x})e^{\frac{1}{x}}$

D) $(2x-2+\frac{1}{x})e^{\frac{1}{x}}$

E) $(2x-\frac{1}{x})e^{\frac{1}{x}}$

Question 6 :

Si $z$ est un nombre complexe tel que : $arg(z-1) \equiv \frac{2\pi}{3} [2\pi]$ et $arg(z+1) \equiv \frac{\pi}{3} [2\pi]$, alors $z$ est égal à :

A) $\sqrt{3}i$

B) $2\sqrt{3}i$

C) $-\sqrt{3}i$

D) $-2\sqrt{3}i$

E) $1+\sqrt{3}i$

Question 7 :

Si $z = 1 + ie^{\frac{\theta}{2}}$ où $\theta \in ]-\pi, \pi[$ alors $|z|$ est égal à :

A) $2$

B) $2\cos\frac{\theta}{2}$

C) $2\cos\frac{\theta+\pi}{4}$

D) $\cos\frac{\theta+\pi}{4}$

E) $2\sin\frac{\theta}{4}$

Question 8 :

On a $\lim_{n \to +\infty} \left( \frac{n-1}{n+1} \right)^{2n}$ est égale à :

A) $0$

B) $e^{-4}$

C) $e^{4}$

D) $e$

E) $1$

Question 9 :

Si $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite géométrique de premier terme $u_1 = 2$ et de raison $q = \frac{1}{3}$ alors le produit $u_1 \times u_2 \times u_3 \times \ldots \times u_n$ est égal à :

A) $2^n \cdot 3^{\frac{n(n-1)}{2}}$

B) $\frac{2^n}{3^{\frac{n(n-1)}{2}}}$

C) $\frac{2^n}{3^{\frac{n(n+1)}{2}}}$

D) $2^n \cdot 3^{\frac{n(n+1)}{2}}$

E) $\frac{1}{2^n \cdot3^{\frac{n(n-1)}{2}}}$

Question 10 :

Si $\forall x \in \mathbb{R}$ ; $f(x) = (x - 5)(x - 4)(x - 3)(x - 2)(x - 1)$ alors $f'(1)$ est égale à :

A) $24$

B) $1$

C) $0$

D) $5$

E) $-24$

Question 11 :

Soit $f$ la fonction définie par : $f(x) = \frac{2lnx}{x(1 + (lnx)^2)}$. La primitive de $f$ sur $]0, +\infty[$ qui s'annule en 1 est :

A) $ln((lnx)^2 + 1)$

B) $(lnx)^2$

C) $2ln((lnx)^2 + 1)$

D) $\frac{xlnx}{lnx + 1}$

E) $\frac{2lnx}{(lnx)^2 + 1}$

Question 12 :

L'intégrale $\int_{0}^{1}\frac{2t + 3}{t + 2}dt$ est égale à :

A) $ln\frac{3}{2}$

B) $2 + ln\frac{3}{2}$

C) $2 - ln\frac{2}{3}$

D) $2 + ln\frac{2}{3}$

E) $ln\frac{2}{3}$

Question 13 :

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $O, u, v$. L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tel que : $z + \frac{1}{z} \in \mathbb{R}$ est :

A) L'axe des réels privé du point $O$

B) Le cercle de centre $O$ et de rayon 1

C) L'axe des réels privé des deux points $A(-1)$ et $B(1)$

D) Le cercle de centre $O$ et de rayon 1 privé des deux points $A(-1)$ et $B(1)$

E) L'axe des réels privé du point $O$ union le cercle de centre $O$ et de rayon 1

Question 14 :

Soit $(w_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite définie par : $w_0 = \frac{1}{2}$ et $(\forall n \in \mathbb{N})$ ; $w_{n+1} = (w_n - 1)^2 + 1$. Si $(w_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est convergente alors $\lim_{n \to +\infty} w_n$ est égale à :

A) $0$

B) $2$

C) $1$

D) $\frac{1}{2}$

E) $-1$

Question 15 :

Soit $a \in [0, +\infty]$ et $f$ la fonction définie par : $f(x) = 1 + xln\sqrt{1 + \frac{a}{x}}$, alors $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ est égale à :

A) $1$

B) $1 + \frac{a}{2}$

C) $1 + a$

D) $+\infty$

E) $a$

Question 16 :

Soit $ABC$ un triangle isocèle en $A$ tel que : $AB = AC = 10$. L'aire maximale du triangle $ABC$ est :

A) $25 \sqrt{2}$

B) $50$

C) $100$

D) $10$

E) $5\sqrt{2}$

Question 17 :

Si $(\forall x \in \mathbb{R}^*_+)$ ; $f(x) = x^3 + 3lnx + 1$ alors le nombre dérivé $(f^{-1})'(2)$ est égal à :

A) $\frac{1}{3}$

B) $\frac{1}{6}$

C) $\frac{1}{5}$

D) $\frac{1}{4}$

E) $\frac{1}{2}$

Question 18 :

L'intégrale $\int_0^1 sin(x)e^x dx$ est égale à :

A) $\frac{1 + e^{\frac{\pi}{2}}}{2}$

B) $\frac{e + e^{\frac{\pi}{2}}}{2}$

C) $\frac{1 - e^{\frac{\pi}{2}}}{2}$

D) $1 + e^{\frac{\pi}{2}}$

E) $1 - e^{\frac{\pi}{2}}$

Question 19 :

On considère la fonction $f$ définie par : $(\forall x \in \mathbb{R}) f(x) = e^{-\frac{x^2}{2}}$. Un encadrement de $f'(x)$ sur l'intervalle $[0,1]$ est :

A) $0 \leq f'(x) \leq \frac{1}{\sqrt{e}}$

B) $-\frac{1}{\sqrt{e}} \leq f'(x) \leq 0$

C) $-\frac{1}{2} \leq f'(x) \leq 0$

D) $0 \leq f'(x) \leq \sqrt{e}$

E) $-\frac{1}{\sqrt{e}} \leq f'(x) \leq -\frac{1}{2}$

Question 20 :

Soit $f(x) = \sqrt{x^3 + 2x^2 + 3} - ax\sqrt{x + b}$ avec $a$ et $b$ deux réels donnés. $f$ admet une limite finie en $+\infty$ si et seulement si :

A) $a > 0$ et $b > 0$

B) $a = 1$ et $b > 0$

C) $a = 1$ et $b = 2$

D) $a = 1$ et $b = 0$

E) $a > 0$ et $b = 0$

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